Résumé
En science et dans l'industrie, les données se présentent souvent sous la forme de tenseurs ou de tableaux multidimensionnels, collectés selon diverses dimensions telles que le temps, l'espace ou la fréquence. Les exemples incluent les séquences vidéo dans la vision par ordinateur, les images 2D+ dans l'ingénierie et la recherche biomédicale, les signaux audio et les enchâssements de texte dans le traitement du langage naturel. La préservation de la structure tensorielle dans l'analyse peut offrir des avantages statistiques et informatiques significatifs par rapport aux méthodes de vectorisation habituelles. Les tenseurs conservent les relations multidimensionnelles inhérentes aux données, ce qui permet d'obtenir des représentations plus précises et interprétables de phénomènes complexes. En outre, les opérations tensorielles permettent une manipulation efficace des données de haute dimension, ce qui se traduit par des économies substantielles en termes de temps de calcul et d'utilisation de la mémoire.
Cependant, la théorie mathématique des tenseurs reste quelque peu insaisissable et fait toujours l'objet d'un développement actif. Alors que le rang maximal d'une matrice de dimensions données est bien compris, la détermination du rang maximal d'un tenseur reste un problème ouvert. De même, alors que le rang d'une matrice peut être facilement déterminé à l'aide d'algorithmes établis tels que QR ou SVD, trouver le rang d'un tenseur est généralement NP-hard. Il y a beaucoup de place pour des avancées théoriques dans l'algèbre et la géométrie des tenseurs, ainsi que dans l'optimisation et les statistiques basées sur les tenseurs.